Così a spanne direi che devi revisionare il carburatore. probabilmente lo spillo non tiene più e ti riempie il cilindro di benzina.
Fai una prova: spegni la vespa chiudendo il rubinetto e lasciando che finisca la benzina nel carburatore. Poi aspetta che la vespa sia fredda e riprova ad accenderla. probabilmente dovrai spedivellare. Se quando si accende non fa più il fumo allora abbiamo trovato il problema (spillo del carburatore che non fa più tenuta)
Dimenticavo: lo chiudi sempre il rubinetto della benzina quando la spegni la sera?